比特币欧式期权价格的计算

派科国际投资（集团）有限公司 苏文杰

摘要：本文简要介绍了两种计算比特币欧式期权价格的方法，并为 Deribit 平台编写了一个使用 BSM 公式的计算程序。

物理学家在华尔街做什么？他们主要是建立模型来确定证券的价值。他们进入投资银行、对冲基金或彭博和 SunGard 等金融软件公司，修补旧模型并开发新模型。迄今为止，在金融界最为知名和广泛使用的是 Black-Scholes 期权定价模型。著名金融家、期权理论家、现任麻省理工学院教授史蒂夫·罗斯在《帕尔格雷夫经济学词典》中写道：“……期权定价理论不仅在金融领域。整个经济学范畴中最成功的理论。”

——选自 Emmanuel Deman 的《Quan Life》

一、期权定价理论与诺贝尔经济学奖

“华尔街从来就不是学术的领域。但自从我在 1985 年底加入高盛的那天起，我就听到人们敬畏地谈论费舍尔·布莱克。他是布莱克-斯科尔斯期权定价公式的联合创始人。高盛量化策略组的发现者和负责人。

在 1970 年代初之前，没有人知道如何以令人信服的方式估计期权的价值。当股票上涨时比特币期权，有利可图的看涨期权似乎更像是在赌马——你越看好股票的未来前景，你就越愿意为此付出代价。每个人都确定他们认为合理的价格。

后来，在 1973 年，Fisher Black 和 Myron Scholes 发表了他们的同名 Black-Scholes 期权估值公式。同年，罗伯特·默顿对公式中一个有争议的方面给出了更严谨和更有见地的解释。最后，默顿给出的公式取代了布莱克和斯科尔斯原先给出的公式，成为标准形式（以下简称BSM公式）。默顿和肖尔斯因这项工作获得了 1997 年的诺贝尔经济学奖，但与他们分享该奖项的费舍尔早在 1995 年就去世了。如果他有幸多活几年，他一定会成为一名合作者。 - 诺贝尔经济学奖获得者。“[1]

二、期权应用的广度和重要性

期权市场是最具活力和活力的市场之一。期权具有规避风险、风险投资和价值发现等良好功能，因此得到了迅速的发展和广泛的应用，对市场也产生了深远的影响。

“1998 年 7 月，道琼斯工业平均指数 (DJIA) 在达到 9337.97 点的峰值后开始逐渐下滑。当时投资者信心低迷，交易所上市看跌期权变得非常昂贵，美联储主席艾伦格林斯潘警告股市定价过高，而俄罗斯政府宣布卢布贬值并推迟偿还俄罗斯外债。在 1997 年亚洲市场危机和货币市场动荡之后，俄罗斯的违约给投资者带来了压力，并导致资金从风险市场转向安全的政府债券。许多对冲基金出售了他们的流动资产，包括指数期货、股票和高收益债券，以弥补他们在俄罗斯和其他新兴市场高杠杆赌博造成的损失。美国市场在 8 月 27 日遭遇第一次冲击，当时道指下跌 4.2 个百分点，而东京和伦敦市场也下跌 3 个百分点。在这次下跌之后，投资者迫切需要良好的对冲工具，这增加了对看跌期权的需求比特币期权，导致其价格上涨。期权做市商和其他保护性期权的卖家也被迫通过出售期货和股票来对冲自己的风险。8 月 31 日，看跌期权发行人和对冲基金大量抛售期货，导致期货折价... 期权做市商和其他保护性期权的卖家也被迫通过出售期货和股票来对冲自己的风险。8 月 31 日，看跌期权发行人和对冲基金大量抛售期货，导致期货折价... 期权做市商和其他保护性期权的卖家也被迫通过出售期货和股票来对冲自己的风险。8 月 31 日，看跌期权发行人和对冲基金大量抛售期货，导致期货折价...  

8 月份暴跌的大部分责任归咎于对冲基金，它们陷入了高杠杆的“套利”操作。一方面，高杠杆的交易一旦成功，可以产生巨额利润；

三、Volatility[3] - “没有波动性，期权是多余的”

1、标的资产价格的波动

简单来说，标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动的不确定性的指标。

值得注意的是，与其他决定和影响期权价格的因素不同，期权有效期内标的资产价格的波动在期权定价时是一个未知数。因此，在为期权定价时，需要获取标的资产价格的波动性。，只能通过近似来估计。估计波动率的一种简单方法是使用过去观察到的标的资产价格波动的历史数据来估计未来价格的波动率。通过这种方法得到的波动率称为历史波动率。当然，如果期权价格已知，可以利用期权定价模型反向推导波动率，这种计算出来的波动率在市场报价中称为隐含波动率。

2、估计标的资产价格的波动性

在期权参数的估计中，波动率是最困难和最重要的。波动率本身是无法直接观察到的，而在为时间T到期的期权定价时，人们关心的是标的资产价格在时间t和时间T之间的波动率，即未来波动率。因此，期权定价中使用的本质上是未来给定时期波动率的预期值。

在预测未来波动率时，常用的方法有两种：历史的和隐含的。相应地，出现了历史波动率和隐含波动率的概念。

(1）历史规律

所谓历史法，就是从标的资产价格的历史数据中估计出历史波动率，然后据此推断出未来波动率的预测值。

估计历史波动率最常用的方法是标准差法。除标准差法外，常见的历史波动率估计方法还包括已实现波动率和区间波动率，它们分别是利用日内高频数据和每日高低价计算得出的波动率指标。

在估计历史波动率之后，对于如何推断未来波动率的预测值有不同的方法。最简单的方法是认为历史会重复，直接用从历史数据中得到的历史波动率作为未来波动率的预测值；比较复杂的方法是通过一些度量方法来构造波动率的历史值和未来值的差值。时间序列模型用于外推预测，例如著名的广义自回归条件异方差（GARCH）模型和随机波动率模型。

(2）隐式

由于波动率的时变波动性，历史不会简单地重演，用历史方法推断未来波动率的预测往往不准确。期权市场的交易者通常更喜欢使用隐式方法。所谓隐式法，就是将期权的市场价格和波动率以外的参数代入期权定价模型（最常见的是BSM模型），然后求出期权价格对应的波动率，即隐含波动率，然后在类似条件下使用期权定价和风险对冲等。

由于波动率是交易期权时的重要决策参数，每个期权交易者都会在预测未来波动率的基础上进行交易，相应的期权市场价格自然反映了市场对未来波动率的预期。

四、通过 BSM 期权定价公式以编程方式计算欧式看涨期权的价格

Deribit平台上的比特币期权是欧式期权，其定价是借助BSM公式进行的，可以在其网页上直接操作和定价。它支持三种定价方式——BTC定价、USD定价、隐含波动率定价，当然我们也可以编写程序进行定价比较。

标的资产（BTC 指数价格）在某个时间点（UTC 时间 6 月 18 日上午 9:1）8） 的价格为 920 美元3. 38 美元，合约到期日的行使价看涨期权9500美元，年化无风险利率0.00%（取自Deribit平台），期权久期2.95天，即还有2.95天到期，即2.95/365，标的资产波动率为70.86%（取自Deribit平台），可编程看涨期权计算为是 $118.01，即 0.0128 个硬币。此价格与平台上直接获取的定价一致。

五、另一种确定期权价格的方法

上面的定价可能并不直观。下面提供另一种定价方式，更简单易懂。

我们可以假设到期日标的资产价格刚刚达到盈亏平衡点，即尝试根据之前的市场情况估计盈亏平衡点，从而可以得到对应的期权价格（见下面的计算公式）。然后根据期权价格通过BSM期权定价公式计算隐含波动率。如果隐含波动率与正常值偏差太大，则意味着之前给出的盈亏平衡点很可能是不正确的，应该丢弃并重新估计和计算。.

下面简要介绍这种定价方法的计算公式。

1、欧式看涨期权价格

然后根据以上，根据该期权的价格计算隐含波动率来决定是否使用。

2、欧式看跌期权价格

然后根据以上，根据该期权的价格计算隐含波动率来决定是否使用。

六、期权价格敏感性[3]

在现实中，人们往往需要更深入地了解各种因素对期权的影响，或者期权价格对这些因素的敏感性。从数学上讲，期权价格对这些因素的敏感性是期权价格对这些因素的偏导数，假设其他条件不变；从经济学上讲，当我们以各种方式将期权（组合）的这些敏感性结合起来时，当它下降到0时，就实现了期权（组合）的套期保值。这些因素的变化将不再影响期权（投资组合）的价值。

以下仅介绍 Deribit 平台使用的 4 个希腊字母（偏导数）。

1、Delta(Δ)

Delta（Δ）用于衡量衍生品价格对标的资产价格变动的敏感度，等于衍生品价格变动与标的资产价格变动之比。准确地说，它代表了在其他条件相同的情况下，标的资产价格的微小变化引起的期权价格的变化。用数学语言表示，期权的 delta 值等于期权价格相对于标的资产价格的偏导数。

在 Deribit 平台上，Delta（Δ）值特指标的指数波动 1 美元时所有期权价格（以美元计）的累计波动值。

2、伽玛

3、维加

衍生品的 Vega(V) 用于衡量衍生品价值对标的资产价格波动的敏感度。等于衍生品价格对标的资产价格波动率σ的偏导数，即

证券投资组合的 Vega 值等于投资组合中证券数量乘以每种证券的 Vega 值的乘积之和。投资组合的 Vega 值越大，其值对波动率的变化越敏感。

在 Deribit 平台上，Vega 值特指以美元计价的期权组合的价格与波动率每变化 1% 的隐含波动率之间的变化率。

4、西塔

Theta(Θ)，用来衡量衍生品价格对时间变化的敏感度，是在其他条件不变的情况下，衍生品价格变化与时间变化的比值，即衍生品价格对时间t的偏导数：

在 Deribit 平台上，Theta 值特指以美元为单位的期权总价值的每日变化率。

七、根据上述，使用以上两种方法对期权定价进行编程（针对Deribit平台），程序界面如下：

八、结论与讨论

Deribit 平台上的比特币期权是欧式期权，其定价是借助 BSM 公式进行的。本文简要介绍了两种计算比特币欧式期权价格的方法，并使用BSM公式为该平台编写了期权定价计算程序。

值得注意的是，在传统金融领域，大量分析师和研究人员对 BSM 期权定价模型进行了多次更新，例如：随机利率、标的资产的峰态概率分布、对多资产的依赖、离散对冲和交易成本、价格跳跃、信用风险、随机波动、局部波动和表面分布，仅举几例对该模型的改进 [2]。例如，为了解决与 BSM 期权定价模型不一致的两种现象，即波动率微笑和不对称峰厚尾现象，SGKou 提出了一个理想模型，双指数跳跃扩散模型 [4]，在中国被广泛使用。关于这个模型的文献也很多[5]-[8]。

参考

[1] 伊曼纽尔·德曼。量子的生活。张健译. 北京：中信出版社，2007.130-131

[2] 卡里尔·伊林斯基。金融物理学——非均衡定价中的测量建模。殷剑峰、李艳译. 北京：机械工业出版社，2003.187-207

[3] 郑振龙，陈容。金融工程。第四版。北京：高等教育出版社，2016.150-266

[4] SG寇。期权定价的跳跃扩散模型。管理学, 2002, 48(8): 1086-1101.

[5] 宋书成. 双指数跳跃扩散模型下的几种期权定价。山东大学硕士学位论文, 2013

[6] 王树军．股价服从跳跃扩散过程的期权定价模型 南开大学硕士论文。2010

[7] 刘小树. 三种双指数跳跃扩散模型的实证比较研究。南方经济，2008，(2):65

[8] 周伟，何建民，于德建。随机跳跃广义双指数分布下的双跳扩散模型及应用 系统工程理论与实践, 2013, 33(11): 2746-2756.@ >